Estadística Correlacional

class: front

.pull-left-wide[
# Estadística Correlacional]

.pull-right-narrow[![:scale 85%](img/logo-correlacional-transp.png)]

## Inferencia, asociación y reporte

----
.pull-left[

## Juan Carlos Castillo
## Sociología FACSO - UChile
## 2do Sem 2024
## [.orange[correlacional.netlify.app]](https:/correlacional.netlify.app)
]

.pull-right-narrow[
.center[
.content-block-gray[
## .gray[Sesión 11:] 
## .curso[Asociación con variables categóricas 1]]
]
]
---

layout: true
class: animated, fadeIn

---
class: inverse bottom right

# Correlación y categóricas

---
# Correlación y categóricas

- sentido original de correlación (Pearson): variables intervalares/razón, también se extiende a ordinal (Spearman)

- dadas las ventajas de este coeficiente, se puede extender su uso a variables con nivel de medición nominal **_con algunas consideraciones_**

- veamos un ejemplo:

---
# Ejemplo

Tenemos las siguientes variables:

``` r
x <- c(0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0)
y <- c(12, 14, 17, 17, 11, 22, 23, 11, 19, 8, 12)
```

Donde x sería una variable nominal dicotómica con valores 1 y 0, mientras que y es una variable contínua (intervalar)

---
.pull-left-narrow[
.content-box-red[
## Cálculo del coeficiente de correlación

Se utilizar la función `cor.test()` para calcular la correlación punto biserial entre las dos variables

``` r
cor.test(x, y)
```
]]

.pull-right-wide[

```

Pearson's product-moment correlation

data:  x and y
t = 0.67064, df = 9, p-value = 0.5193
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.4391885  0.7233704
sample estimates:
      cor 
0.2181635 
```
.medium[
.right[(Se puede también usar `cor`, pero `cor.test` entrega más información)]
]]

---
## Del output de R tenemos que:

- la correlación punto biserial es **0.218**, indicando una relación positiva moderada entre ambas variables

- el valor **p** correspondiente es **0.5193**, que no permite rechazar la hipótesis nula con un 95% de confianza ya que el valor p no es menor a 0.05

- como complemento se entrega el intervalo de confianza **[-0.4391885  0.7233704]**, que como vemos contiene el **0**, y por lo tanto con un 95% de confianza no podemos decir que las correlación es distinta de 0

---
# ¿Qué es esta correlación?

- no es más que una correlación de Pearson entre una variable nominal y una intervalar

- para diferenciarla de Pearson tradicional se le denomina correlación **punto biserial**

- hay que tener precauciones con su interpretación

---
## Interpretación

- pensemos que x=1 es hombre,x=2 es mujer, y que y=nivel educativo, cómo se interpreta la correlación?

- **inferencia**: que existe (o no) una asociación entre ambas variables (según si es estadísticamente distinta de cero)
  - **tamaño**: que esta asociación es debil, mediana o fuerte
  - **sentido**: difícil de interpretar, ej: mientras "más mujer", mayor educación (?)

.content-box-red[
.medium[
Por lo tanto, esta correlación puede tener limitaciones en la interpretación de su **sentido**, sirve principalmente para inferencia y tamaño.]
]
  
---
class: inverse middle center

# ¿Qué test / cálculo podría ser más apropiado para la relación entre una variable intervalar y una dicotómica?

---
.pull-left[

``` r
t.test(y ~ x, var.equal=TRUE)
```

```

Two Sample t-test

data:  y by x
t = -0.67064, df = 9, p-value = 0.5193
alternative hypothesis: true difference in means between group 0 and group 1 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -8.891987  4.825320
sample estimates:
mean in group 0 mean in group 1 
       14.16667        16.20000 
```

]

---

# Por lo tanto, correlación punto-biserial

- es equivalente a un test de diferencia de medias en términos de inferencia

- en términos de valor es igual que una correlación de Pearson varía entre -1 y 1

- el apellido de (punto) **biserial** se utiliza solo para dar cuenta que el nivel de medición de una de las variables es nominal, y se requieren consideraciones especiales en su interpretación

- también se puede denominar biserial a una correlación entre una variable intervalar/razón y una ordinal

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class: inverse middle center

## El sentido general de realizar correlaciones de Pearson con variables categóricas es el supuesto que la categórica representa distintos niveles de una variable latente continua

Ej:  0=baja educación, 1=alta educación

---
# Caso especial: correlación tetracórica

- Es una correlación entre dos variables dicotómicas (=categórica de dos niveles)

- Se calcula en base a la frecuencias de cada combinación de valores (00,01,10,11).

- Supone que ambas variables son continuas y normalmente distribuidas antes de la categorización.

---
# Tipos de correlación según nivel de medición
----

.small[

|                       | **Nominal Dicotómica**      | **Nominal Politómica**      | **Ordinal**                 | **Intervalar/Razón**       |
|-----------------------|----------------------------|----------------------------|----------------------------|---------------------------|
| **Nominal Dicotómica**|       Tetracórica      |                 |                     Biserial        | Punto Biserial  |
| **Nominal Politómica**|                |                 |                             |                            |
| **Ordinal**           |     Biserial                       |                            | Spearman, Kendall           | Pearson/biserial, Policórica                |
| **Intervalar/Razón**  | Punto Biserial   |                            | Pearson/biserial, Policórica                 | Pearson                   |

]

---
class: inverse bottom right

# Asociación en tablas de contingencia

---
## Escalas de medición de variables

- NOIR: Nominal, Ordinal, Intervalar, Razón

.small[
| Tipo       	| Características                     	        | Propiedad de números 	| Ejemplo|
|------------	|----------------------------------------------|---------------	|-----------	|
| *Nominal*    	| Uso de números en lugar de palabras 	| Identidad            	| Nacionalidad      	|
| *Ordinal*    	| Números se usan para ordenar series 	| + ranking            	| Nivel educacional 	|
| *Intervalar* 	| Intervalos iguales entre números    	| + igualdad           	| Temperatura       	|
| *Razón*      	| Cero real                           	| + aditividad         	| Distancia         	|
]

???

- Nominal: Números empleados como etiquetas (ej. sexo, raza)

- Ordinales: Distintas categorías puede sen ordenados en serie. Posición, no distancia. (ej. cargos en una empresa)

- Intervalares: Escalas de unidades iguales. Diferencia entre dos número consecuntivos refleja diferencia empírica. (ej. Horas del día)

- Razón: caracterizados por la presencia de un cero absoluto. (ej. frecuencias de eventos)

---
## Tipos de datos en relación a escalas de medición.

* **Datos categóricos**:

- pueden ser medidos sólo mediante escalas nominales, u ordinales en caso de orden de rango

* **Datos continuos**:
    - Medidos en escalas intervalares o de razón
    - Pueden ser transformados a datos categóricos

---
# Tablas de contingencia o tablas cruzadas
.pull-left[
- Son tablas que presentan la distribución conjunta de dos o más variables

- Ej. Moore cap 9: recaidas en consumo de cocaina luego de tratar adicción con distintos tratamientos
]
.pull-right[
![](img/contingencia_moore.png)
]

???
- ver temas de frecuencias absolutas, porcentuales y totales por filas o por columnas

---
# Tablas de contingencia y asociación

----

.pull-left[
.content-box-red[
.center[
#¿Cómo establecer una medida de **asociación** de los datos en una tabla de contingencia?
]
]
]

.pull-right[
.content-box-purple[
.center[
#¿Cómo saber si esa asociación es **estadísticamente** significativa?
]
]
]
---
# Ejemplo

Pensemos en la siguiente pregunta de investigación:

**¿Existe una asociación entre la percepción de ser discriminado y el nivel educacional?**

`$H_a$`: el nivel educacional se asocia a la percepción de ser discriminado

`$H_0$`: no hay asociación entre nivel educacional y percepción de ser discriminado

---
.pull-left-narrow[
# Vamos a los datos: CASEN 2022

En CASEN existe una batería sobre percepción de discriminación:
]

.pull-rigth-wide[
<div class="container">
 <img src="img/per-dis.png" width="2000px"/>
</div>
]

---
Generar subset CASEN con educación y percepción de discriminación

.pre[

``` r
pacman::p_load(haven, sjmisc, dplyr)
casen2022_chi <- read_dta("/home/juank/Downloads/Base de datos Casen 2022 STATA.dta")
summary(casen2022$r9)
sjmisc::find_var(data = casen2022_chi,"discriminado")
sjmisc::find_var(data = casen2022_chi,"nivel educacional")
casen2022_chi <- casen2022_chi %>% 
 select(r9a:r9t, e6a) # seleccionar variables
casen2022_chi <- casen2022_chi %>% 
 rename("educacion"=e6a) #renombrar 
save(casen2022_chi, 
 file = "slides/data/casen2022_chi.Rdata") #guardar objeto
rm(list = c('casen2022_chi')) # quitar del environment por tamaño/memoria
```
]

---
Recodificar discriminación

``` r
pacman::p_load(sjmisc)
load("data/casen2022_chi.Rdata")
frq(casen2022_chi$r9t)
```

```
r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado (x) <numeric> 
# total N=202231 valid N=202231 mean=0.83 sd=0.37

Value | Label | N | Raw % | Valid % | Cum. %
-------------------------------------------------
 0 | No | 33472 | 16.55 | 16.55 | 16.55
 1 | Sí | 168759 | 83.45 | 83.45 | 100.00
 <NA> | <NA> | 0 | 0.00 | <NA> | <NA>
```

---

- En la lista CASEN al final hay una item de "no ha sido discriminado" (**r9t**), que usaremos para nuestro análisis; la renombramos "discrim"

- Quienes responden si son quienes no se han sentido discriminados, por lo tanto mejor cambiar las etiquetas para evitar confusiones

``` r
casen2022_chi$discrim <- sjlabelled::set_labels(casen2022_chi$r9t,
 labels=c( "discriminad@"=0,
 "no discriminad@"=1))
```

---

``` r
frq(casen2022_chi$discrim)
```

```
r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado (x) <numeric> 
# total N=202231 valid N=202231 mean=0.83 sd=0.37

Value | Label | N | Raw % | Valid % | Cum. %
-----------------------------------------------------------
 0 | discriminad@ | 33472 | 16.55 | 16.55 | 16.55
 1 | no discriminad@ | 168759 | 83.45 | 83.45 | 100.00
 <NA> | <NA> | 0 | 0.00 | <NA> | <NA>
```

---
Ahora con la variable educación, recodificar universitario=1

``` r
casen2022_chi$educ_sup <- rec(casen2022_chi$educacion, rec = "1:12=0;13:15=1",val.labels = c("Menos que universitaria", "Universitaria o más"))
frq(casen2022_chi$educ_sup)
```

```
e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió? (x) <numeric> 
# total N=202231 valid N=202231 mean=0.16 sd=0.37

Value | Label | N | Raw % | Valid % | Cum. %
-------------------------------------------------------------------
 0 | Menos que universitaria | 168994 | 83.56 | 83.56 | 83.56
 1 | Universitaria o más | 33237 | 16.44 | 16.44 | 100.00
 <NA> | <NA> | 0 | 0.00 | <NA> | <NA>
```

---
Veamos ahora una tabla de frecuencias cruzadas

.pull-left-narrow[
.small[

``` r
pacman::p_load(sjPlot)
casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim)
```
]]

.pull-right-wide[
.small[
<table style="border-collapse:collapse; border:none;">
 <tr>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; border-bottom:1px solid;" rowspan="2">e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió?</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal;" colspan="2">r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; font-weight:bolder; font-style:italic; border-bottom:1px solid; " rowspan="2">Total</th>
 </tr>
 
<tr>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">discriminad@</td>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">no discriminad@</td>
 </tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Menos que universitaria</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26996</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">141998</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">168994</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Universitaria o más</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">6476</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26761</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">33237</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; border-bottom:double; font-weight:bolder; font-style:italic; text-align:left; vertical-align:middle;">Total</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">33472</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">168759</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">202231</td> 
</tr>
<td style="text-align:right; font-size:0.9em; font-style:italic; padding:0.2cm;" colspan="4">&chi;2=247.461 &middot; df=1 &middot; &phi=0.035 &middot; p=0.000</td> 
</tr>
 
</table>
]]

---
Para mayor claridad generamos porcentajes por columnas de la tabla (discriminación)

.pull-left-narrow[
.small[

``` r
casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim,
  show.col.prc=TRUE)
```
]]

.pull-right-wide[
.small[
<table style="border-collapse:collapse; border:none;">
 <tr>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; border-bottom:1px solid;" rowspan="2">e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió?</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal;" colspan="2">r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; font-weight:bolder; font-style:italic; border-bottom:1px solid; " rowspan="2">Total</th>
 </tr>
 
<tr>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">discriminad@</td>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">no discriminad@</td>
 </tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Menos que universitaria</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26996 80.7&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">141998 84.1&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">168994 83.6&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Universitaria o más</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">6476 19.3&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26761 15.9&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">33237 16.4&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; border-bottom:double; font-weight:bolder; font-style:italic; text-align:left; vertical-align:middle;">Total</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">33472 100&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">168759 100&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">202231 100&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
<td style="text-align:right; font-size:0.9em; font-style:italic; padding:0.2cm;" colspan="4">&chi;2=247.461 &middot; df=1 &middot; &phi=0.035 &middot; p=0.000</td> 
</tr>
 
</table>
]
]

---
Y acá por filas (educación)

.pull-left-narrow[
.small[

``` r
casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim,
  show.row.prc=TRUE)
```
]]

.pull-right-wide[
.small[
<table style="border-collapse:collapse; border:none;">
 <tr>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; border-bottom:1px solid;" rowspan="2">e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió?</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal;" colspan="2">r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; font-weight:bolder; font-style:italic; border-bottom:1px solid; " rowspan="2">Total</th>
 </tr>
 
<tr>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">discriminad@</td>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">no discriminad@</td>
 </tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Menos que universitaria</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26996 16&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">141998 84&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">168994 100&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Universitaria o más</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">6476 19.5&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26761 80.5&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">33237 100&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; border-bottom:double; font-weight:bolder; font-style:italic; text-align:left; vertical-align:middle;">Total</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">33472 16.6&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">168759 83.4&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">202231 100&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
<td style="text-align:right; font-size:0.9em; font-style:italic; padding:0.2cm;" colspan="4">&chi;2=247.461 &middot; df=1 &middot; &phi=0.035 &middot; p=0.000</td> 
</tr>
 
</table>
]
]

---
.pull-left-narrow[

Con ambos porcentajes:
.small[

``` r
casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim,
  show.row.prc=TRUE,
  show.col.prc=TRUE
  )
```
]]

.pull-right-wide[
.small[
<table style="border-collapse:collapse; border:none;">
 <tr>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; border-bottom:1px solid;" rowspan="2">e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió?</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal;" colspan="2">r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; font-weight:bolder; font-style:italic; border-bottom:1px solid; " rowspan="2">Total</th>
 </tr>
 
<tr>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">discriminad@</td>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">no discriminad@</td>
 </tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Menos que universitaria</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26996 16&nbsp;&#37; 80.7&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">141998 84&nbsp;&#37; 84.1&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">168994 100&nbsp;&#37; 83.6&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Universitaria o más</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">6476 19.5&nbsp;&#37; 19.3&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26761 80.5&nbsp;&#37; 15.9&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">33237 100&nbsp;&#37; 16.4&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; border-bottom:double; font-weight:bolder; font-style:italic; text-align:left; vertical-align:middle;">Total</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">33472 16.6&nbsp;&#37; 100&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">168759 83.4&nbsp;&#37; 100&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">202231 100&nbsp;&#37; 100&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
<td style="text-align:right; font-size:0.9em; font-style:italic; padding:0.2cm;" colspan="4">&chi;2=247.461 &middot; df=1 &middot; &phi=0.035 &middot; p=0.000</td> 
</tr>
 
</table>
]
]

---

.pull-left-wide[
.small[
<table style="border-collapse:collapse; border:none;">
 <tr>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; border-bottom:1px solid;" rowspan="2">e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió?</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal;" colspan="2">r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; font-weight:bolder; font-style:italic; border-bottom:1px solid; " rowspan="2">Total</th>
 </tr>
 
<tr>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">discriminad@</td>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">no discriminad@</td>
 </tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Menos que universitaria</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26996 16&nbsp;&#37; 80.7&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">141998 84&nbsp;&#37; 84.1&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">168994 100&nbsp;&#37; 83.6&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Universitaria o más</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">6476 19.5&nbsp;&#37; 19.3&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26761 80.5&nbsp;&#37; 15.9&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">33237 100&nbsp;&#37; 16.4&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; border-bottom:double; font-weight:bolder; font-style:italic; text-align:left; vertical-align:middle;">Total</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">33472 16.6&nbsp;&#37; 100&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">168759 83.4&nbsp;&#37; 100&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">202231 100&nbsp;&#37; 100&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
<td style="text-align:right; font-size:0.9em; font-style:italic; padding:0.2cm;" colspan="4">&chi;2=247.461 &middot; df=1 &middot; &phi=0.035 &middot; p=0.000</td> 
</tr>
 
</table>
]
]

.pull-right-narrow[
 
# ¿Cómo saber si existe asociación o no entre estas variables?
]

---

Para simplificar, pensemos en una muestra más pequeña de 100 casos y además balanceada.

|                         | discriminad@ | no discriminad@ | Total |
|-------------------------|--------------|-----------------|-------|
| Menos que universitaria |              |                 | 50    |
| Universitaria o más     |              |                 | 50    |
| Total                   | 50           | 50              | 100   |

.center[
##_¿Cómo se deberían distribuir los casos en las celdas para constatar que hay (o no) diferencias?_
]

---

|                         | discriminad@ | no discriminad@ | Total |
|-------------------------|--------------|-----------------|-------|
| Menos que universitaria | 50           | 0               | 50    |
| Universitaria o más     | 0            | 50              | 50    |
| Total                   | 50           | 50              | 100   |

Esta tabla estaría expresando lo esperado por nuestra **hipótesis (alternativa)**: existen diferencias al cruzar estas variables, y por lo tanto hay asociación entre educación y percepción de discriminación

---

Este es el otro extremo: todas las celdas tienen la misma cantidad de casos

|                         | discriminad@ | no discriminad@ | Total |
|-------------------------|--------------|-----------------|-------|
| Menos que universitaria | 25           | 25              | 50    |
| Universitaria o más     | 25           | 25              | 50    |
| Total                   | 50           | 50              | 100   |

Esta tabla expresa la **hipótesis nula** `$H_0$`: no existe asociación entre variables

---
class: inverse middle center

.large[

# `$\chi^2$` 
]

(chi cuadrado)
---
# Prueba de `$\chi^2$`

- La prueba de `$\chi^2$` (chi cuadrado) se utiliza para inferencia sobre  asociación de variables categóricas en una tabla de contingencia

- `$\chi^2$` se basa en un **test de diferencia**, donde se compara nuestra tabla de contingencia y una tabla donde no existe asociación entre variables, que representa la hipótesis nula `$H_0$`

- La lógica detrás es que si nuestra tabla es significativamente distinta de una tabla sin asociación, entonces podemos rechazar la hipóteis nula

---
# Pasos en el cálculo de `$\chi^2$`

- Generación de tabla de contingencia **observada** en base a nuestros datos

- Generación de tabla de contingencia **esperada** al azar en base a nuestros datos

- Establecer la diferencia entre lo observado y lo esperado al azar

- Establecer si esta diferencia es estadísticamente significativa

---
## Frecuencia esperada al azar en una tabla de contingencia
----

|                         | discriminad@ | no discriminad@ | Total |
|-------------------------|--------------|-----------------|-------|
| Menos que universitaria | a            | b               | (a+b) |
| Universitaria o más     | c            | d               | (c+d) |
| Total                   | (a+c)        | (b+d)           | N     |

---
Nos enfocamos en la celda **a**, su frecuencia esperada es:

## `$$f_{e_{a}}=\frac{(a+b)(a+c)}{N}$$`

En base a los datos de nuestro ejemplo de 100 casos:

`$$f_{e_{a}}=\frac{(50)(50)}{100}= \frac{2500}{100}=25$$`

Por lo tanto, la frecuencia esperada al azar para la celda **a**=25

---
# Sentido general de la prueba de `$\chi^2$`

- La lógica de la prueba de Chi 2 es la comparación de las frecuencias observadas `$(f_o)$` en nuestra tabla y de las frecuencias esperadas `$(f_e)$` por azar

- Si nuestra tabla `$(f_o)$` se diferencia **significativamente** del azar `$(f_e)$`, entonces podemos rechazar la hipótesis nula y tenemos evidencia de asociación entre variables

---

.pull-left-narrow[
`$$f_{e_{a}}=\frac{(a+b)(a+c)}{N}$$`
`$$f_{e_{b}}=\frac{(a+b)(b+d)}{N}$$`
`$$f_{e_{c}}=\frac{(a+c)(c+d)}{N}$$`
`$$f_{e_{d}}=\frac{(b+d)(c+d)}{N}$$`
]
.pull-right-wide[
.small[
|                         | discriminad@ | no discriminad@ | Total |
|-------------------------|--------------|-----------------|-------|
| Menos que universitaria | a            | b               | (a+b) |
| Universitaria o más     | c            | d               | (c+d) |
| Total                   | (a+c)        | (b+d)           | N     |
]

## `$$\chi^2=\sum\frac{(f_o-f_e)^2}{f_e}$$`

El valor de Chi2  será mayor en la medida que lo observado sea distinto de los esperado al azar

]

---
Cálculo de frecuencias esperadas para ejemplo con CASEN

.pull-left[
.small[
<table style="border-collapse:collapse; border:none;">
 <tr>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; border-bottom:1px solid;" rowspan="2">e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió?</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal;" colspan="2">r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; font-weight:bolder; font-style:italic; border-bottom:1px solid; " rowspan="2">Total</th>
 </tr>
 
<tr>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">discriminad@</td>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">no discriminad@</td>
 </tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Menos que universitaria</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26996</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">141998</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">168994</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Universitaria o más</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">6476</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26761</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">33237</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; border-bottom:double; font-weight:bolder; font-style:italic; text-align:left; vertical-align:middle;">Total</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">33472</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">168759</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">202231</td> 
</tr>
<td style="text-align:right; font-size:0.9em; font-style:italic; padding:0.2cm;" colspan="4">&chi;2=247.461 &middot; df=1 &middot; &phi=0.035 &middot; p=0.000</td> 
</tr>
 
</table>
]
]

.pull-right[
.small[
`$$f_{e_{a}}=\frac{168994*33472}{202231}=27970.8$$`
`$$f_{e_{b}}=\frac{168994*168759}{202231}=141023.2$$`
`$$f_{e_{c}}=\frac{33472*33237}{202231}=5501.2$$`
`$$f_{e_{d}}=\frac{168759*33237}{202231}=27735.8$$`
]
]

---
En R también es posible obtener las frecuencias esperadas por celda con la función `CrossTable` de la librería `gmodels`

``` r
gmodels::CrossTable(casen2022_chi$educ_sup,
                    casen2022_chi$discrim, 
                    expected=TRUE,
                    prop.r = FALSE, 
                    prop.c=FALSE, 
                    prop.chisq = FALSE, 
                    prop.t = FALSE)
```

---
.small[

```

Cell Contents
|-------------------------|
|                       N |
|              Expected N |
|-------------------------|

Total Observations in Table:  202231

| casen2022_chi$discrim 
casen2022_chi$educ_sup |         0 |         1 | Row Total | 
-----------------------|-----------|-----------|-----------|
                     0 |     26996 |    141998 |    168994 | 
                       | 27970.821 | 141023.179 |           | 
-----------------------|-----------|-----------|-----------|
                     1 |      6476 |     26761 |     33237 | 
                       |  5501.179 | 27735.821 |           | 
-----------------------|-----------|-----------|-----------|
          Column Total |     33472 |    168759 |    202231 | 
-----------------------|-----------|-----------|-----------|

Statistics for All Table Factors

Pearson's Chi-squared test 
------------------------------------------------------------
Chi^2 =  247.7146     d.f. =  1     p =  8.178928e-56

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction 
------------------------------------------------------------
Chi^2 =  247.4605     d.f. =  1     p =  9.291443e-56

```
]

---
.small[
`\begin{align*}
\chi^2&=\sum\frac{(f_o-f_e)^2}{f_e} \\ \\
&=\frac{(26996-27970.8)^2}{27970.8}+\frac{(141998-141023.2)^2}{141023.2}+\frac{(6476-5501.2)^2}{5501.2}+ \frac{(26761-27735.8)^2}{27735.8} \\\\
&=\frac{(974.8)^2}{27970.8}+\frac{(974,8)^2}{141023.2}+\frac{(-974.8)^2}{5501.2}+ \frac{(-974.8)^2}{27735.8} \\\\
&=\frac{950235,04}{27970.8}+\frac{950235,04}{141023.2}+\frac{950235,04}{5501.2}+ \frac{950235,04}{27735.8} \\\\
&=33.97+6.74+172.7+34.3 \\\\
\end{align*}`
]

# `$$\chi^2=247.46$$`

---
# Inferencia y `$\chi^2$`

- Tal como en los pasos de la inferencia para pruebas anteriores (como `$Z$` y `$t$`), para realizar la prueba de hipótesis comparamos el valor observado de `$\chi^2$` con un valor crítico, que proviene de la distribución `$\chi^2$`

- además de especificar la probabilidad de error  `$\alpha$`, se requiere especificar los **grados de libertad**

---
# Grados de libertad en `$\chi^2$`

- Como en la distribución `$t$`, `$\chi^2$` también se ajusta por los grados de libertad, que se obtienen sumando el numero de niveles/categorías -1 de cada variable

- En nuestro ejemplo de tabla de 2x2 (dos categorías de cada variable), los grados de libertad equivalen a:

`$$gl=(2-1)*(2-1)=1*1=1$$`

---

![](img/chi_dist2.png)

---
# Comparación  valor crítico y valor estimado

- `$\chi^2$` estimado: **247.46**

- `$\chi^2$` crítico para un `$\alpha=0.05$` y 1 grado de libertad: **3.84**

- En el ejemplo: **valor estimado `$\chi^2$` > valor crítico `$\chi^2$`**

- Por lo tanto **se rechaza `$H_0$`**, podemos decir que hay evidencia de asociación entre percepción de discriminación y nivel educacional con un 95% de confianza

---
# `$\chi^2$` directamente en R

La función es  `chisq.test()`

``` r
chisq.test(table(casen2022_chi$educ_sup,
                 casen2022_chi$discrim))
```

```

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data: table(casen2022_chi$educ_sup, casen2022_chi$discrim)
X-squared = 247.46, df = 1, p-value < 2.2e-16
```

---

.pull-left-narrow[
.medium[
De todas maneras, aparece directamente en varios outputs de tablas de contingencia en R, como la generada antes con `sjtab`, de librería `sjPlot`:

``` r
casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim,
  show.row.prc=TRUE)
```
]
]

.pull-right-wide[
 
.small[
<table style="border-collapse:collapse; border:none;">
 <tr>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; border-bottom:1px solid;" rowspan="2">e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió?</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal;" colspan="2">r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado</th>
 <th style="border-top:double; text-align:center; font-style:italic; font-weight:normal; font-weight:bolder; font-style:italic; border-bottom:1px solid; " rowspan="2">Total</th>
 </tr>
 
<tr>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">discriminad@</td>
 <td style="border-bottom:1px solid; text-align:center; padding:0.2cm;">no discriminad@</td>
 </tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Menos que universitaria</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26996 16&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">141998 84&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">168994 100&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:middle;">Universitaria o más</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">6476 19.5&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">26761 80.5&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; ">33237 100&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
 
<tr> 
<td style="padding:0.2cm; border-bottom:double; font-weight:bolder; font-style:italic; text-align:left; vertical-align:middle;">Total</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">33472 16.6&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">168759 83.4&nbsp;&#37;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; border-bottom:double;">202231 100&nbsp;&#37;</td> 
</tr>
<td style="text-align:right; font-size:0.9em; font-style:italic; padding:0.2cm;" colspan="4">&chi;2=247.461 &middot; df=1 &middot; &phi=0.035 &middot; p=0.000</td> 
</tr>
 
</table>
]
]

---
# Resumen: 5 pasos inferencia para tablas cruzadas

1. Establecer las hipótesis

2. Calcular frecuencias esperadas

3. Estimar estadístico de prueba `$\chi^2$`

4. Establecer valor crítico de la prueba (de acuerdo a un cierto nivel de confianza y grados de libertad)

5. Contraste e interpretación

---
# Resumen general asociación bivariada y niveles de medición

|            | Intervalar       | Ordinal                       | Nominal |
|------------|------------------|-------------------------------|---------|
| **.black[Intervalar]** | Pearson          |                               |         |
| **.black[Ordinal]**    | Pearson/Spearman | Spearman                      |         |
| **.black[Nominal]**    | Punto-biserial   | Spearman/Punto-biserial/Chi 2 | Chi 2   |

---
class: front

.pull-left-wide[
# Estadística Correlacional]

.pull-right-narrow[![:scale 85%](img/logo-correlacional-transp.png)]

## Inferencia, Asociación y reporte

----
.pull-left[

## Juan Carlos Castillo
## Sociología FACSO - UChile
## 2do Sem 2024
## [.orange[correlacional.netlify.com]](https://encuestas-sociales.netlify.com)
]